Repêché en troisième ronde en 2013, 88e au total, Slepyshev a passé trois saisons en Amérique du Nord, de 2015 à 2018, au cours desquelles il a été limité à 10 buts et 13 mentions d'aide en 102 matchs avec les Oilers d'Edmonton. Durant son passage au Canada, il a aussi porté l'uniforme des Condors de Bakersfield, dans la LAH, amassant 31 points, 16 buts et 15 passes, en 59 rencontres.

Après ces trois campagnes, l'attaquant russe a pris la décision de retourner en Russie en signant un contrat de deux saisons avec le CSKA de Moscou. Lors de son retour à Moscou, Slepyshev a récolté 33 buts et 37 aides en 110 parties. Cette saison, il a connu sa meilleure campagne en termes de points, avec une récolte de 45 points, 18 buts et 27 passes, en 54 matchs.